關於 蒙提霍爾問題(Monty Hall problem)

這個數學問題,常常被拿出討論;而我,其實一直都無法信服「換門是最好的選擇」,直到Grace在BLOG 蒙提霍爾問題 的詳細說明,才能接受。

在此,我還是將題目簡單說明一下,「假設你正在參加一個遊 戲節目,你被要求在三扇門中選擇一扇:其中一扇後面有一輛車;其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門,假設是一號門,然後知道門後面有甚麼的主持人,開啟了另一扇後面有山羊的門,假設是三號門。他然後問你:「你想選擇二號門嗎?」請問,轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎? 」

當然,答案是「轉換選擇是有力的」。詳細的說明,我想Grace在BLOG中已有充分說明。
我想再討論的,是為何我當時會有「換不換都是1/2」的念頭。(再繼續閱讀前,請先看完Grace的BLOG內文。)

原因在於,我把「三扇門中選擇其一」與「剩餘兩門中選擇其一」當作各自獨立而不互相影響的事件;我忽略了「主持人知道門後有什麼」以及「主持人會開啟另一扇門後有山羊」這兩件事。因為主持人的因素,導致「剩餘兩門中選擇其一」這個事件並不是單純的1/2中獎機率。這也說明了,在計算背後機率時,「正確而適當」的系統大小是很重要的。
以這個數學問題而言,不能獨自切割每一個動作。

可是,另一種事件卻是相反地,那就是賭場中「賭大小」的問題。如果已經連續50次都是「大」,那接下來出現「小」的機率是會大於出現「大」的機率嗎?

其實,正確來說,連續出現50次的「大」,對於下一次出現「大」或「小」的機率,並不會有影響(如果賭具等其他環境都很客觀的話)。所以,在這個問題上,每次出現「大」、「小」的事件都是互相獨立的。

也就是說,所謂的「大數法則」,是一個觀察事後結果的行為中,看到的一個數據趨勢;但是,這個法則(Law)並不是規範每個數據產生的一個制約(Rule)。這一點很重要,因為很多熱衷所謂統計管理的人,在工廠、公司的運轉中,時常提到了「這個數據是會依照Normal Distribution」、「這個資料已經超出3 Sigma,一定是現場問題」等充斥自信與先入為主的想法。

個人還是深深覺得,所謂「數據化管理」、「科學化管理」等手法,的確在(大)部分的時候能夠幫忙處理、改善績效與產品良率,但是出現所謂「Outliers」時,必須去確認這個「異常」的緣由,進一步了解是否整個「系統」本身已與當初規劃、設定的範圍與原則有所不同(System Auto-Regeneration),而不是一昧地忽略或嘗試強迫Outliers Elimilated.

以下,與Monty Hall Problem 相關 Links:
Grace 在 Amazing Grace 的 蒙提霍爾問題
Wiki 的 Monty Hall problem (英文版比中文版的詳細多了)

兩篇跟機率相關的想法與觀念:
「科學人雜誌」 的 「奇蹟?機率!?」(「大數法則」保證,百萬分之一的奇蹟每天會在美國上演295次。)
「科學人雜誌」 的 「庶民計數學與中土」(我們的腦子為什麼無法靠直覺來了解機率?)